La construction d'un maillage volumique pour un domaine géométrique donné est un problème complexe et abordé depuis de nombreuses années. La génération de maillages purement hexaédriques pour des domaines de forme quelconque est encore un problème ouvert. De tels maillages seraient très utiles dans le cadre de simulation numérique comme les fluides. Dans le cadre de la thèse de Paul Viville (2022), nous avons développé une chaîne de traitement pour la génération de maillages hexaédriques pour des domaines dont la forme peut être représentée par leur squelette. Le squelette utilisé est un graphe composé soit exclusivement de segments (1D), soit composé à la fois de segments (1D) et de quads (2D). Ce dernier a été dessiné « à la main » dans la plupart des exemples traités. Des cas particuliers avec certaines situations géométriques sur les squelettes (1D-2D) posant des difficultés ont été laissés de côté afin de se concentrer sur le processus général de génération de maillage volumique. Dans le cadre de la thèse de Qijia Huang (2026), nous avons conçu une méthode d’approximation discrète de l’axe médian d’une forme 3D, défini comme l’ensemble des centres des sphères maximales inscrites dans l’objet. Cette représentation fournit une représentation compacte de la géométrie du domaine. À partir d’un maillage surfacique, d’un nuage de points ou d’une fonction de distance signée, notre méthode variationnelle repose sur une construction incrémentale qui permet d’obtenir des squelettes à plusieurs échelles, allant d’une approximation grossière jusqu’à une description fine et régulière. Une évaluation expérimentale met en évidence la précision de la méthode, sa robustesse au bruit et la possibilité d’un contrôle interactif de la distribution des sphères. Les squelettes obtenus sont composés de segments (1D) et de triangle (2D).
Dans le cadre du travail proposé dans cette thèse, nous visons un algorithme efficace et automatique de construction d’un maillage volumique hexaédrique qui, à partir d’un domaine défini par un maillage surfacique, un nuage de points ou une fonction de distance signée, s’appuie sur l’approximation de son axe médian [4-HKTB24] pour obtenir un squelette qui serve de support à la génération du maillage [2-VKB23]. L’exploitation de méthodes d’apprentissage permettant d’obtenir conjointement une fonction de distance signée du bord du domaine, une fonction d’épaisseur et une fonction de distance non-signée de l’axe médian est une piste à explorer pour contrôler l’échantillonnage du maillage volumique construit. De nombreux problèmes sont à résoudre pour obtenir une solution complète et intégrée.
I. Notre algorithme de génération de maillages hexaédriques est basé sur un principe de décomposition du domaine en blocs liés aux éléments du squelette. La construction de cette décomposition pour les embranchements a nécessité l’élaboration d’une méthode de partition de la surface d’une sphère en quadrilatères. Notre algorithme de partition de sphère a été testé avec succès sur de nombreuses configurations générées aléatoirement, mais cela n’exclut pas l’existence de cas limites. Une démonstration mathématique rigoureuse de la robustesse de l’algorithme pourrait s’avérer utile pour pérenniser cette méthode.
II. Notre méthode d’approximation de l’axe médian produit des squelettes composés de segments (1D) et de triangles (2D). Un remaillage de ce squelette discret sera à mettre en œuvre pour le rendre compatible et maîtriser le processus de génération de mailles volumiques. De plus, la gestion des cas particuliers que nous avons identifiés est à étudier avec rigueur.
III. Une attention particulière devra être portée à la préservation des propriétés topologiques des maillages, nécessaire si l’on souhaite conserver les optimisations spécialisées pour la simulation. Dans ce contexte, des méthodes de subdivision et d’adaptation de l’échantillonnage des maillages seront à explorer.
IV. Une caractérisation des domaines géométriques pouvant être représentés par squelettes (1D-2D), puis maillés par notre algorithme, est également à prévoir pour maîtriser le domaine de validité de la méthodologie.
V. Enfin, la validation des résultats par l’application de codes de simulation sur les maillages produits par des experts permettrait une validation pratique des travaux et permettrait de découvrir de nouvelles problématiques à résoudre. Les développements logiciels devront être intégrés dans la plateforme de modélisation géométrique de l’équipe IGG d’ICube.
Références :
[4-HKTB24] Q. Huang, P. Kraemer, S. Thery, D. Bechmann, Dynamic Skeletonization via Variational Medial Axis Sampling, Full paper at ACM SIGGRAPH ASIA 2024, Tokyo, Japan, décem-bre 2024.
[2-VKB23] P. Viville, P. Kraemer, D. Bechmann, Meso-Skeleton Guided Hexahedral Mesh Design, Full paper at Pacific Graphics 2023, Computer Graphics Forum, Volume 42, Number 7.
