Les écoulements faiblement compressibles à faible nombre de Mach se rencontrent dans de nombreuses applications telles que la météorologie, l'astrophysique ou l'ingénierie aérospatiale. Ils sont difficiles à simuler avec des méthodes numériques standard, telles que la méthode des volumes finis (MVF) [1] ou la méthode Lattice-Boltzmann (LBM) [3]. La première raison est que les schémas explicites en temps ne sont que conditionnellement stables. En effet, les ondes acoustiques rapides, qui sont caractéristiques des écoulements à faible nombre de Mach, imposent une condition CFL très contraignante et donc des pas de temps décroissants lorsque le nombre de Mach diminue. La deuxième raison est que la viscosité numérique, qui est importante pour stabiliser les méthodes numériques, est imposée par la vitesse de l'onde la plus rapide et est généralement trop importante dans la FVM ou trop faible dans la LBM pour résoudre avec précision les ondes matérielles lentes. La troisième raison est que la résolution des petites échelles instationnaires nécessite des mailles très fines. Cela réduit également les coûts de calcul, ce qui signifie que le logiciel de simulation doit être soigneusement optimisé. Le processus d'optimisation est complexe, long et sujet aux erreurs. L'approche traditionnelle pour résoudre la première difficulté consiste à adopter (au moins partiellement) des schémas implicites. Cependant, cela conduit à la résolution de grands systèmes non linéaires et est très coûteux en termes de calcul. Les solutions à la deuxième difficulté peuvent être basées soit sur la résolution directe des équations limites à faible Mach (équations incompressibles), soit sur des schémas récents, basés sur une analyse minutieuse de l'effet de la viscosité numérique sur toutes les ondes [2, 4]. A notre connaissance, le troisième défi est aujourd'hui principalement relevé par un long développement de logiciels par essais et erreurs. L'objectif de ce projet de recherche est de tester une nouvelle méthode explicite de Lattice-Boltzmann adaptée à la résolution d'écoulements de fluides faiblement compressibles. L'équipe IRMA-MOCO a récemment développé des schémas LBM avec une très faible dissipation, mais avec une stabilité entropique prouvée [5, 6]. La méthode LBM est connue pour son bon comportement dans les écoulements incompressibles et est donc prometteuse pour une extension aux écoulements faiblement compressibles. Ces dernières années, le MOCO a développé des schémas cinétiques explicites, mais sans CFL, pour des systèmes de conservation hyperboliques généraux [7]. L'idée est de représenter les équations par un ensemble équivalent d'équations cinétiques couplées par un terme de relaxation rigide. Le nombre de vitesses cinétiques reste faible et le modèle cinétique est résolu par des solveurs de transport sans CFL très efficaces. Telle quelle, la méthode peut être appliquée aux écoulements compressibles. Mais on s'attend à une perte de précision à faible Mach. Nous proposons d'augmenter le nombre de vitesses cinétiques afin d'améliorer la précision de l'approximation des ondes lentes. Le nouveau schéma, avec deux familles de vitesses cinétiques (lente et rapide), sera analysé du point de vue de la stabilité et de la précision. La théorie a été développée dans l'équipe [5, 10] et sera adaptée à ce cas. Une partie du travail sera consacrée à l'optimisation du LBM avec de nouveaux outils développés dans le projet ANR OptiTrust d'ICUBE-ICPS. Ces outils permettent de tester rapidement les transformations de code, qui sont vérifiées par Coq, afin de s'assurer que le code optimisé effectue exactement les mêmes calculs que le code source non optimisé.
[1] Guillard, H., & Viozat, C. (1999). On the behaviour of upwind schemes in the low Mach number limit. Computers & fluids, 28(1), 63-86.
[2] Farag, G., Zhao, S., Coratger, T., Boivin, P., Chiavassa, G., & Sagaut, P. (2020). A pressure-based regularized lattice-Boltzmann method for the simulation of compressible flows. Physics of Fluids, 32(6).
[3] Frapolli, N., Chikatamarla, S. S., & Karlin, I. V. (2015). Entropic lattice Boltzmann model for compressible flows. Physical Review E, 92(6), 061301.
[4] Chalons, C., Girardin, M., & Kokh, S. (2017). An all-regime Lagrange- Projection like scheme for 2D homogeneous models for two-phase flows on unstructured meshes. Journal of Computational Physics, 335, 885-904.
[5] Lukáová-Medvidová, M., Puppo, G., & Thomann, A. (2023). An all Mach number finite volume method for isentropic two-phase flow. Journal of Numerical Mathematics, 31(3), 175-204.
[6] Bellotti, T., Helluy, P., & Navoret, L. (2024). Fourth-order entropystable lattice Boltzmann schemes for hyperbolic systems. arXiv preprint arXiv:2403.13406.
[7] Gerhard, P., Helluy, P., Michel-Dansac, V., & Weber, B. (2024). Parallel kinetic schemes for conservation laws, with large time steps. Journal of Scientific Computing, 99(1), 5.
